Computergrafik
Bezier Curves
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Basisfunktionen Bn(x) nicht Monome xn
Bezier: Bernstein Polynom
Bni(t)=(in)(1−t)n−iti
mit Binomialkoeffizient (in)=n!i!(n−i)!
Kontrollpunkte ci definieren das Kontrollpolygon einer Bezierkurve vom Grad n
Kurve: F(t)=∑ni=0ciBni(t),t∈[0,1]
Eigenschaften:
- Die Kurve liegt innerhalb der konvexen Hülle des Kontrollpolygons
- Die Bernsteinpolynome vom Grad n sind eine Zerlegung der 1: ∑ni=0Bni(t)=1
- Die Kurve geht durch den ersten und letzten Kontrollpunkt
- Die Tangente am Beginn und Ende der Kurve zeigt auf den zweiten und zweitletzten Kontrollpunkt
Beispiel kubische Bezierkurve:
C(t)=∑3i=0(i3)ti(1−t)3−iPi=
=(1−t)3P0+3t(1−t)2P1+3t2(1−t)P2+t3P3=
=(−P0+3P1−3P2+P3)t3+(3P0−6P1+3P2)t2+(−3P0+3P1)t+P0
t∈[0,1]
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