Matthias Hopf

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Homogene Schreibweise von Ortsvektoren (z.B. Punkte) und Richtungsvektoren (z.B. Normalen) durch eine zusätzliche w-Koordinate

• Punkt $\vec{P}=(p_x, p_y, p_z)^T$ → $(P_x, P_y, P_z, 1)^T$
• Richtung $\vec{d}=(d_x, d_y, d_z)^T$ → $(d_x, d_y, d_z, 0)^T$

Homogene, d.h. einheitliche Darstellung von Orts- und Richtungsvektoren durch w=0 oder 1.

Eine Starrkörper-Transformation eines Punktes läßt sich durch die Multiplikation mit einer Matrix M in homogenen Koordinaten beschreiben:

Beweis durch Ausmultiplizieren:

Jede affine Transformation (auch eine Translation) ist eine Multiplikation mit einer 4×4 Matrix in homogenen Koordinaten!

Zur Rücktransformation eines Punktes mit homogenen Koordinaten in “reguläre” 3D Koordinaten werden sie dehomogenisiert, d.h. komponentenweise durch die w-Komponente geteilt:

• homogener Punkt $\vec{P}=(P_x, P_y, P_z, w)^T$ → $(\frac{P_x}w, \frac{P_y}w, \frac{P_z}w, \frac{w}w)^T$ falls $w\ne 0$
• Rückwandlung in kartesische Koordinaten ($\mathbb{R}^3$):
  $(\frac{P_x}w, \frac{P_y}w, \frac{P_z}w, \frac{w}w)^T$ → $(\frac{P_x}w, \frac{P_y}w, \frac{P_z}w, 1)^T$ → $(\frac{P_x}w, \frac{P_y}w, \frac{P_z}w)^T$
• Vorschau: die Division ermöglicht außerdem die perspektivische Projektion!

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