CoGr@Ohm

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Eine Fläche [in einem kartesischen Koordinatensystem] ist definiert durch einen Aufsatzpunkt $\vec{P}$ und zwei Richtungsvektoren $\vec{d}_1$ und $\vec{d}_2$, welche die Fläche aufspannen. Die Punkte $\vec{x}(s,t)$ auf der Fläche ergeben sich dann über die Parametrisierung mit s und t:

Dies ist die explizite Darstellung der Fläche.

Die Flächennormale $\vec{n}$ ist $\vec{d}_1\times\vec{d}_2$.

Hesse Normalform mit normiertem Normalenvektor $|\vec{n}| = 1$:

Anschaulich: Der Abstand eines Punktes $\vec{v}$ von der Fläche ist $(\vec{v}-\vec{P}) \cdot \vec{n}'$ mit $\vec{n}'=\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$ (normiert). Alle Punkte mit Abstand Null liegen in der Fläche.

Die implizite Darstellung der Fläche ergibt sich durch Setzen des Flächenabstandes zu Null:

Durch Ausmultiplizieren ergibt sich eine implizite Geradengleichung mit Normalenvektor $\vec{n} = (a, b, c)^T$:

Mit:

• $a = \vec{n_x}$
• $b = \vec{n_y}$
• $c = \vec{n_z}$
• $d = \vec{n}\cdot\vec{P}$

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