CoGr@Ohm

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• Definition: $u_1,...,u_n \in V$ bilden eine Basis von V, wenn jeder Vektor $v\in V$ als lineare Kombination darstellbar ist: $v=w_1u_1+...+w_nu_n$
  • Dann sind $w_1,...,w_n$ die Koordinaten von $v$.
• Definition: Ein Koordinatensystem besteht aus einer Basis $u_1,...,u_n \in V$ von Vektoren und einem Punkt $O\in V$ (dem Ursprung), so dass
  • Jeder Punkt P durch seinen Ortsvektor p definiert ist:
  • $P = O + p_1u_1 + ... + p_nu_n$
  • Die Elemente $p_1,...,p_n$ sind die Koordinaten des Punktes P
• Kartesisches Koordinatensystem
  • Definition: Koordinatensystem mit einer orthonormalen Basis (normierte Basisvektoren sind paarweise senkrecht)
  • kartesische Koordinaten werden mit x,y,z bezeichnet
  • die Koordinatenachsen werden mit X,Y,Z bezeichnet
  • stehen die Koordinatenachsen aufeinander senkrecht, so spricht man von einem orthogonalen Vektorraum
  • sind die Basisvektoren zusätzlich normalisiert, so spricht man von einem orthonormalen Vektorraum
  • orthonormale Vektorräume zeichnen sich durch eine Abstandsnorm aus, d.h. der [euklidische] Abstand zweier Punkte ist durch die Norm des Differenzvektors definiert und der Abstand ist rotations- und translations-invariant.

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