Computergrafik

Algorithmus von De Casteljau

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Konstruktion des BezierPunktes $B=F(t)$:

  • Idee: Wir teilen die Verbindungslinien $(P_0,P_1)$,$(P_1,P_2)$,$(P_2,P_3)$, usw. zwischen den Kontrollpunkten grafisch prozentual gemäß dem Parameter $t$.
  • Mit dem Parameter $t$ die Strecken, definiert durch $n$ Kontrollpunkte, im Verhältnis $t:1-t$ teilen (Beispiel: bei $t=0,5$ teilen wir die Strecke in zwei gleich große Teile).
  • Die so erzeugten Punkte ergeben eine neue Serie von $n-1$ Kontrollpunkten und $n-2$ Strecken.
  • Solange wiederholen bis ein Punkt übrig bleibt.
wikipedia.org

Siehe auch wikipedia.

Rekurrenz für kubische Bezierkurven ($n=3$):

Die Punkte $P_0$, $Q_0$, $R_0$, $B_0$ und die Punkte $B_0$, $R_1$, $Q_2$, $P_3$ sind die Kontrollpunkte für zwei neue kubische Bezierkurven (d.h. eine links und eine rechts des Punktes $B_0$). Zur besseren Übersicht nochmal visuell:

Rekursiver Zeichenalgorithmus für eine kubische Bezierkurve ($n=3$) mit vier Kontrollpunkten ($P_0$,$P_1$,$P_2$,$P_3$) via Kurvenhalbierung: 

eps = 0.001

drawcurve(P0,P1,P2,P3)
{
   if (|P0-P3|<eps) drawline(P0,P3);
   else
   {
      Q0=(P0+P1)/2;
      Q1=(P1+P2)/2;
      Q2=(P2+P3)/2;

      R0=(Q0+Q1)/2;
      R1=(Q1+Q2)/2;

      B0=(R0+R1)/2;

      drawcurve(P0,Q0,R0,B0);
      drawcurve(B0,R1,Q2,P3);
   }
}

Q Kann man mit kubischen Bezierkurven ein perfektes Kreissegment darstellen?

Nein, dazu benötigt man rationale Bezierkurven. Siehe dazu eine grafische Erklärung auf StackOverflow.

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